“L’indovinello degli occhi blu” è uno dei più famosi rompicapo logici che esemplifica il principio di induzione matematica. La storia si svolge su un’isola abitata da una tribù con un rigido codice comportamentale: agli abitanti è proibito conoscere il colore dei propri occhi, e chiunque scopra il proprio colore deve abbandonare l’isola il giorno successivo. Ogni mattina, un traghetto arriva all’alba per portare via chiunque infranga questa regola. Gli abitanti sono logici perfetti: possono dedurre qualsiasi informazione con una precisione infallibile.
Sull’isola vivono 1000 persone, di cui 100 hanno gli occhi blu e 900 hanno gli occhi marroni. Questa informazione, però, è sconosciuta agli isolani. Nessuno può parlare del colore degli occhi degli altri, e non esistono specchi o superfici riflettenti. Tutto procede normalmente fino a quando, un giorno, un turista ignaro delle leggi della tribù fa un’osservazione innocente: “Com’è strano vedere tra voi un’altra persona con gli occhi blu proprio come me!”
A questo punto sorge la domanda: quale sarà l’effetto dell’affermazione del turista?
Le due soluzioni dell’indovinello
L’indovinello ha due soluzioni apparentemente plausibili ma contraddittorie.
- Soluzione 1: L’affermazione del turista non ha alcun effetto.Secondo questa soluzione, il turista non ha rivelato alcuna informazione nuova. Ogni isolano sa già che ci sono persone con gli occhi blu, quindi l’affermazione non cambia la situazione. Pertanto, nessuno agisce.
- Soluzione 2: Dopo esattamente 100 giorni, tutti gli abitanti dagli occhi blu lasceranno l’isola.Questa soluzione suggerisce che l’affermazione del turista innesca un processo logico che porta ogni abitante con gli occhi blu a scoprire il proprio colore. Dopo 100 giorni, tutti gli isolani con gli occhi blu abbandonano l’isola.
Quale delle due è corretta? La risposta è sorprendentemente la seconda. Ma per comprenderla appieno, dobbiamo fare un passo indietro e introdurre il principio di induzione matematica.
Il principio di induzione matematica
L’indovinello degli occhi blu può essere risolto grazie al principio di induzione matematica, una tecnica di dimostrazione ampiamente utilizzata in matematica per provare che una certa proprietà è valida per tutti i numeri naturali. In breve, il principio di induzione afferma che se una proprietà è vera per il numero 0 (o per il numero 1) e se è possibile dimostrare che è vera per n+1n+1n+1 assumendo che sia vera per un numero nnn generico, allora la proprietà è valida per tutti i numeri naturali.
Un modo comune di illustrare questo principio è l’effetto domino: se cade la prima tessera e ogni tessera successiva fa cadere quella dopo, allora tutte le tessere cadranno.
Applicazione del principio di induzione all’indovinello
Ora, torniamo all’indovinello. La soluzione 2 può essere dimostrata attraverso l’induzione matematica:
- Passo base: Se c’è un solo abitante con gli occhi blu, chiamiamolo A, A non vede nessun altro con gli occhi blu. Quando il turista afferma di vedere una persona con gli occhi blu, A capisce immediatamente che è lui ad avere gli occhi blu. Quindi, abbandona l’isola il giorno successivo.
- Passo induttivo: Supponiamo che la soluzione sia vera per nnn persone con gli occhi blu. Ora, immaginiamo che ci siano n+1n + 1n+1 persone con gli occhi blu. Ciascuna di queste persone vede nnn persone con gli occhi blu. Ciascuna di esse pensa: “Se io non ho gli occhi blu, allora ci sono solo nnn persone con gli occhi blu, e quindi se ne andranno tutti loro dopo nnn giorni.” Se nessuno lascia l’isola dopo nnn giorni, ogni persona con gli occhi blu capisce che ci sono in realtà n+1n + 1n+1 persone con gli occhi blu, e quindi ciascuna di esse deduce di avere gli occhi blu. Di conseguenza, tutte le n+1n + 1n+1 persone abbandonano l’isola insieme il giorno successivo, cioè dopo n+1n + 1n+1 giorni.
Come funziona il ragionamento?
Il punto cruciale di questo ragionamento è che il turista ha avviato un processo di deduzione. Prima dell’affermazione del turista, gli isolani dagli occhi blu vedevano solo altri con gli occhi blu, senza sapere il proprio colore. L’affermazione del turista permette loro di iniziare il ragionamento: “Se io non ho gli occhi blu, allora ci sono esattamente 99 persone con gli occhi blu, e queste dovrebbero lasciare l’isola dopo 99 giorni. Se ciò non accade, significa che anch’io devo avere gli occhi blu.”
Perché la Soluzione 1 è errata
La Soluzione 1 sembra plausibile perché si basa sull’idea che il turista non rivela nulla di nuovo. Tuttavia, ciò che il turista effettivamente fa è rompere il ciclo di ignoranza comune. Gli isolani sapevano dell’esistenza di persone con gli occhi blu, ma non sapevano che gli altri lo sapessero. L’affermazione del turista introduce questa consapevolezza condivisa, dando inizio al processo di deduzione collettiva.
Un esempio pratico
Immaginiamo un caso più semplice con solo due abitanti con gli occhi blu, A e B. Entrambi vedono una persona con gli occhi blu e aspettano che questa persona se ne vada. A pensa: “Se io non ho gli occhi blu, allora B se ne andrà al primo giorno.” Ma quando B non se ne va, A capisce che B sta aspettando la stessa cosa. Pertanto, A realizza di avere gli occhi blu e abbandona l’isola al secondo giorno, insieme a B.
Riflessioni finali
Questo indovinello è un esempio affascinante di come la logica e l’induzione matematica possano portare a risultati sorprendenti. Solleva domande interessanti sulla conoscenza condivisa e su come l’informazione può essere propagata in una comunità.
Un’ultima domanda da considerare: cosa accadrebbe se il turista avesse gli occhi marroni e avesse parlato di qualcuno con gli occhi marroni? O se avesse menzionato l’esistenza di una persona con gli occhi blu e una con gli occhi marroni? Questi scenari aggiungono ulteriori livelli di complessità e mostrano come il semplice atto di condividere informazioni possa avere conseguenze inaspettate.
“L’indovinello degli occhi blu” non è solo un gioco logico, ma una profonda riflessione su conoscenza, induzione e ragionamento collettivo.
